题目内容

已知函数 $数学公式$ ，方程f（x）=-2x+7有两个根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂＜3．
（1）求自然数a的值及f（x）的解析式；
（2）记等差数列{a_n}和等差数列{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且 $数学公式$ ，设 $数学公式$ ，求g（n）的解析式及g（n）的最大值；
（3）在（2）小题的条件下，若a₁=10，写出数列{a_n}和{b_n}的通项，并探究在数列{a_n}和{b_n}中是否存在相等的项？若有，求这些相等项从小到大排列所成数列{c_n}的通项公式；若没有，请说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得：6x²+（a²-23）x+8=0；
令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，由x₁＜1＜x₂＜3得： $\text{[math]}$ ，
又a∈N，所以有：a=2；…（5分）
所以 $\text{[math]}$ ；　　　　　　…（6分）
（2） $\text{[math]}$ ，并且结合等差数列的性质可得：
$\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ；…（8分）
并且 $\text{[math]}$ ．…（12分）
（3） $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ；　　　　　　　　　　…（13分）
设数列{a_n}和数列{b_n}的公差分别为d₁，d₂；
所以 $\text{[math]}$ …（16分）
若存在相等的项a_k=b_p（k，p∈N^*），即16k-6=12p-8?6p-8k=1①
①式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，
故不存在满足条件的数列{c_n}．…（18分）
分析：（1）由方程f（x）=-2x+76可以化简为：x²+（a²-23）x+8=0，令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，再结合二次函数的性质可得a=2，进而求出函数的解析式．
（2）由等差数列的性质可得： $\text{[math]}$ ，即可求出函数g（n）的表达式，进而利用函数的有关性质求出其最大值．
（3） $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，再利用（2）中的解析式与等差数列的性质可得两个数列的通项公式，进而假设存在相等的项a_k=b_p，可得矛盾即可得到答案．
点评：本题主要考查二次函数的有关性质与等差数列的有关性质，以及等差数列的通项公式、函数求最值等知识点．