Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，后面DCC₁D₁拼接得到方案
新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
解答：（1）证明：取DC得中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE²+EC²=（4k）²+（3k）²=（5k）²=BC²，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AD=A，∴CD⊥平面ADD₁A₁．
（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B₁（4k，3k，1），A₁（4k，0，1）．
∴，，．
设平面AB₁C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=-6k，x=3．∴．
设AA₁与平面AB₁C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．
（3）由题意可与左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=
点评：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．