Question

已知函数f（x）=ax+

a

x

-3ln x．
（1）a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由a=2，得f(x)=2x+

2

x

-3lnx(x＞0)，
∴f′(x)=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

．
令f′（x）=0，得x=2或x=-

1

2

．
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数		增函数

∴f（x）_min=f（2）=5-3ln2；
（2）f′(x)=a-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

．
若a=0，x∈[1，2]时f′（x）＜0
∴f（x）在[1，2]上单调递减，
若a＞0，由f′（1）＜0，且f（x）在[1，2]上是单调函数，
∴f′（x）≤0对x∈[1，2]恒成立，
即x∈[1，2]时，g（x）=ax²-3x-a≤0恒成立，
∴

a＞0 g(1)≤0 g(2)≤0

，即

a＞0 -3≤0 4a-6-a≤0

，解得0＜a≤2．
综上得0≤a≤2．