题目内容

已知数列{an}满足a1=a，an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a=-时，得到有穷数列：-，-1，0．
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=-1，bn+1=（n∈N+），求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若＜an＜2（n≥4），求a的取值范围．
【答案】分析：（I）解法1：由设条件知an=，由a4=0，导出a3=-1，进而导出a2=-，由此可知a=a1=-．
解法2：由a1=a，an+1=1+，可以推导出a4=0，由此可知a=-．
（II）由bn+1=，知bn=+1，若a=bn，则由题设条件能够推出an=1+=0所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）由题设条件可知（n≥5），由此能够推出a的取值范围．
解答：解：（I）解法1：∵an+1=1+，∴an=，∵a4=0，∴a3=-1，a2=-，a=a1=-；
解法2：∵a1=a，an+1=1+，∴a2=．a3=，a4=，∵a4=0，∴a=-．
（II）∵bn+1=，∴bn=+1，
若a取数列{bn}的一个数bn，即a=bn，则a2=1+=1+=bn-1，a3=1+=1+=bn-2，
∴an-1=b1=-1，∴an=1+=0
所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为＜an＜2（n≥4）⇒（n≥5）⇒⇒＜an-1＜2（n≥5）
所以＜an＜2（n≥4）⇒＜a4＜2⇒＜＜2⇒a＞0
这就是所求的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，避免错误．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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