题目内容
已知数列{an}满足a1=a，an+1=1+
我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2，
，
…；当a=-
时，得到有穷数列：-
，-1，0．（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=-1，bn+1=
（n∈N+），求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；（Ⅲ）若
＜an＜2（n≥4），求a的取值范围．
【答案】分析：（I）解法1：由设条件知an=
，由a4=0，导出a3=-1，进而导出a2=-
，由此可知a=a1=-
．
解法2：由a1=a，an+1=1+
，可以推导出a4=
0，由此可知a=-
．
（II）由bn+1=
，知bn=
+1，若a=bn，则由题设条件能够推出an=1+
=0所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）由题设条件可知
（n≥5），由此能够推出a的取值范围．
解答：解：（I）解法1：∵an+1=1+
，∴an=
，∵a4=0，∴a3=-1，a2=-
，a=a1=-
；
解法2：∵a1=a，an+1=1+
，∴a2=
．a3=
，a4=
，∵a4=0，∴a=-
．
（II）∵bn+1=
，∴bn=
+1，
若a取数列{bn}的一个数bn，即a=bn，则a2=1+
=1+
=bn-1，a3=1+
=1+
=bn-2，
∴an-1=b1=-1，∴an=1+
=0
所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为
＜an＜2（n≥4）⇒
（n≥5）⇒
⇒
＜an-1＜2（n≥5）
所以
＜an＜2（n≥4）⇒
＜a4＜2⇒
＜
＜2⇒a＞0
这就是所求的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，避免错误．
，由a4=0，导出a3=-1，进而导出a2=-
，由此可知a=a1=-
．解法2：由a1=a，an+1=1+
，可以推导出a4=
0，由此可知a=-
．（II）由bn+1=
，知bn=
+1，若a=bn，则由题设条件能够推出an=1+
=0所以数列{an}只能有n项为有穷数列．（III）由题设条件可知
（n≥5），由此能够推出a的取值范围．解答：解：（I）解法1：∵an+1=1+
，∴an=
，∵a4=0，∴a3=-1，a2=-
，a=a1=-
；解法2：∵a1=a，an+1=1+
，∴a2=
．a3=
，a4=
，∵a4=0，∴a=-
．（II）∵bn+1=
，∴bn=
+1，若a取数列{bn}的一个数bn，即a=bn，则a2=1+
=1+
=bn-1，a3=1+
=1+
=bn-2，∴an-1=b1=-1，∴an=1+
=0所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为
＜an＜2（n≥4）⇒
（n≥5）⇒
⇒
＜an-1＜2（n≥5）所以
＜an＜2（n≥4）⇒
＜a4＜2⇒
＜
＜2⇒a＞0这就是所求的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，避免错误．
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