题目内容

探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)在区间（0，2）上递减；
（1）函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)在区间
 
上递增．当x=
 
时，y最小=
 
．
（2）证明：函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)有最值吗？如有，是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）．
分析：（1）利用表中y值随x值变化的特点，可以知道函数值是先减后增，只要找到临界点即可得到答案．
（2）法一：根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数在区间（0，2）上的符号，即可判断出函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上的单调性，进而得到答案．
法二：任取区间，（0，2）上的任意两个数x1，x2，且x1＜x2．构造f（x1）-f（x2）的差，并根据实数的性质判断其符号，根据函数单调性的定义，即可得到结论．
（3）根据的解析式，我们易求出函数在定义域为奇函数，根据奇函数的性质，结合（1）的结论，易得到结果．
解答：解：（1）由表格中的数据，我们易得：
函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)在区间（2，+∞）上递增．
当x=2时，y最小=4．；
（2）方法一：由f（x）=x+
4
x
，
∴f'（x）=1-
4
x2
=
(x-2)(x+2)
x2
，
当x∈（0，2）时，∴f'（x）＜0，
∴函数在（0，2）上为减函数．
方法二：设x1，x2是区间，（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1＜x2，∴x1-x2＜0
又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜x1x2＜4，∴x1x2-4＜0，
∴y1-y2＞0∴函数在（0，2）上为减函数．
（3）∵f（-x）=-x-
4
x
=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又因为当x=2时y最小=4，
所以 y=x+
4
x
，x∈(-∞，0)时，x=-2时，y最大=-4
点评：对于给定解析式的函数，判断或证明其在某个区间上的单调性问题，可以结合定义求解，可导函数也可利用导数解之．
练习册系列答案
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请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间
 
上递增；
（2）函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)，当x=
 
时，y最小=
 
；
（3）函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
探究函数f(x)=2x+
8
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 16 10 8.34 8.1 8.01 8 8.01 8.04 8.08 8.6 10 11.6 15.14 …
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（1）函数f(x)=2x+
8
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减；函数f(x)=2x+
8
x
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）证明：函数f(x)=2x+
8
x
(x＞0)在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f(x)=2x+
8
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
观察下列表格，探究函数f(x)=x+
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x
，x∈(0，+∞)的性质，
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y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
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x
(x＞0)在区间（0，2）上递减；
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x
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．
当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）证明：函数f(x)=x+
4
x
在区间（0，2）递减．
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x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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