Question

【题目】在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.

（1）求证：；

（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）.

【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

（1）∵是正三角形，是中点，

∴，即.

又∵平面，∴.

又，∴平面.

∴.

（2）取中点，连接，则平面，

又直线平面，EG∩EF=E,所以平面平面，所以

∵为中点，，∴.

∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故

（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

∴，，，.

为平面的法向量.

，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，则平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，则.

所以二面角余弦值为.