Question

已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=

3

，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为

9π

2

．则AC=

5

．

Answer 1

分析：由四面体A-BCD相对的棱长度相等，将其放置于长方体中，如图所示．该长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球，长方体的对角线是球的直径．根据四面体外接球的表面积算出外接球的半径长，再利用长方体对角线长公式结合题中数据加以计算，即可得出AC的长度．

解答：解：将四面体A-BCD放置于长方体中，如图所示．
∵四面体A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，
∴长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球，
∵AB=CD=1，AD=BC=

3

，且三组对棱两两相等，
∴设AC=BD=x，得长方体的对角线长为

1 2 [12+( 3 )2+x2]

=

1 2 (4+x2)

，
可得外接球的直径2R=

1 2 (4+x2)

，所以R=

2(4+x2)

4

∵三棱锥A-BCD的外接球表面积为

9π

2

，
∴4πR²=

9π

2

，解得R=

3 2

4

，即

2(4+x2)

4

=

3 2

4

，解之得x=

5

因即AC=BD=

5

．
故答案为：

5

点评：本题给出相对棱长相等的四面体，求在已知外接球的表面积情况下求棱AC长．着重考查了长方体的性质、长方体的对角线长公式和球的表面积公式等知识，属于中档题．