Question

设函数f（x）=（ax²-2x）e^-x（a＜0），其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数f′（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，再求相应方程的根，并确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值点；
（2）因为f′（0）=-2＜0，所以f（x）在[-1，1]上是单调减函数，所以f′（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即-ax²+2（a+1）x-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，构造函数g（x）=-ax²+2（a+1）x-2，可求a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，
由f′(x)=0⇒x1=

a+1+ a2+1

a

，x2=

a+1- a2+1

a

，
∵a＜0
∴函数在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调增，在（x₁，x₂）上单调减，
∴x₁是极大值点，x₂是极小值点．
（2）因为f′（0）=-2＜0，所以f（x）在[-1，1]上是单调减函数，
所以f′（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
即-ax²+2（a+1）x-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
∵a＜0
∴-1≤x₁＜x₂≤1
设g（x）=-ax²+2（a+1）x-2
∴

g(-1)≤0 g(1)≤0

∴

-a-2(a+1)-2≤0 -a+2(a+1)-2≤0

∴-

4

3

≤a≤0
∵a＜0
∴-

4

3

≤a＜0
∴a的取值范围是a∈[-

4

3

，0)．

点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查恒成立问题，解题的关键是运用好导数工具，合理转化．