Question

已知虚数z₁，z₂是方程x²-4x+m²-3m=0，m∈R的两根，且满足|z₁|=

5

．
（1）求实数m的值；
（2）设虚数z₁，z₂对应为F₁，F₂，求以F₁，F₂为焦点且过原点的椭圆的焦距，长轴的长和短轴的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意设z₁=a+bi，则z₂=a-bi（a，b∈R），再由根与系数的关系和|z₁|列出方程组，求出a、b、m；
（2）先由（1）和复数的几何意义求出F₁，F₂的坐标，根据焦点坐标求得椭圆的半焦距c，根据原点到两焦点的距离求得长轴，进而求得a，再由a、b、c的关系求出b，再求出焦距，长轴的长和短轴的长．

解答：解：（1）由题意，设z₁=a+bi，则z₂=a-bi（a，b∈R）
则

z1+z2=4 z1•z2=m2-3m

，即

a+a=4 a2+b2=m2-3m

，
由|z₁|=

5

得，即a²+b²=5，代入上式得，

a=2 b=±1

，且m²-3m-5=0，
解得m=

3± 29

2

，
（2）由（1）得，z₁=2+i，则z₂=2-i，
∴z₁，z₂对应为F₁（2，1）、F₂（2，-1），
则以F₁，F₂为焦点的椭圆的焦距2c=2，则c=1
又∵椭圆过原点，
∴2a=

22+12

+

22+(-1)2

=2

5

，得a=

5

，
则b=

a2-c2

=2，
综上，椭圆的焦距，长轴的长和短轴的长分别为：2、2

5

、4．

点评：本题考查了实系数方程的虚根是共轭复数，以及韦达定理和复数的模，椭圆的简单性质，解题的关键是利用了椭圆的定义，正确理解实系数方程的两虚根的共轭关系，是解答此类问题的切入点．