Question

（2011•浦东新区三模）已知虚数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，
（1）若|z1-z2|=

2

5

5

，求cos（α-β）的值；
（2）若z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的两个根，求实数c的值．

Answer 1

分析：（1）利用复数z=a+bi的模|z|=

a2+b2

代入|z1-z2|=

2

5

5

再结合两角差的余弦公式即可求解．
（2）由于z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的两个复数根故z1=

.

z2

则可得cosα=cosβ，sinα=-sinβ再根据根与系数的关系可求出c．

解答：解（1）∵z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），…（2分）
∵|z1-z2|=

2

5

5

，∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

，…（5分）
∴cos（α-β）=

2- 4 5

2

=

3

5

．…（6分）
（2）由题意可知cosα=cosβ，sinα=-sinβ   …（8分）
且z1•z2=

c

3

=cos2α+sin2α=1…（10分）
∴c=3，经检验满足题意．    …（12分）

点评：本题主要考查了复数模的概念和复数的相等．解题的关键是第一问要利用模的概念根据条件|z1-z2|=

2

5

5

得出α，β的关系式再结合两角差的余弦公式求解而第二问要明白一元二次方程的复数根是成对出现的并且是共轭复数！