题目内容
已知椭圆
的离心率为
，且经过点
． 过它的两个焦点
，
分别作直线
与
，交椭圆于A、B两点，交椭圆于C、D两点，且
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形
的面积
的取值范围．
【答案】
（1）
；（2）
【解析】
试题分析：（1）由离心率为
可知
，所以
，再将点P的坐标代入椭圆方程得
，故所求椭圆方程为 ；
（2）
与
垂直，可分为两种情况讨论：一是当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0；二是若与的斜率都存在；
当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为
；
若与的斜率都存在，设的斜率为
，则的斜率为
．
直线的方程为
，
设
，
，联立
，消去
整理得，
（1）
，
，
，
（2），注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用
代替（2）中的
，
得 
，
，利用换元法，再利用对构函数可以求出最值，令
，
， 
，综上可知，四边形
面积的.
试题解析：（1）由，所以， 2分
将点P的坐标代入椭圆方程得， 4分
故所求椭圆方程为 5分
（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，
此时四边形的面积为， 7分
若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．直线的方程为，
设，，联立，
消去整理得， （1）
，， 8分
，（2） 9分
注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用代替（2）中的，
得 ， 10分
，令，
， ，综上可知，四边形面积的. 13分
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
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已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F1为顶点、F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若e|PF2|=|PF1|，则e的值为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、以上均不对 |
已知椭圆的离心率为
，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：
如图，A，B是椭圆C：