Question

设函数f（x）=x^α+1（α∈Q）的定义域为[-b，-a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为

-5或9

．

Answer 1

分析：令g（x）=x^α，定义域为[-b，-a]∪[a，b]，g（x）=x^α在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，再分类讨论，即可得到结论．

解答：解：令g（x）=x^α，定义域为[-b，-a]∪[a，b]，则
∵函数f（x）=x^α+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，
∴g（x）=x^α在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，
若g（x）=x^α是偶函数，则g（x）=x^α在区间[-b，-a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=x^α+1（α∈Q）在区间[-b，-a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；
若g（x）=x^α是奇函数，则g（x）=x^α在区间[-b，-a]上的最大值为-2，最小值为-5，∴函数f（x）=x^α+1（α∈Q）在区间[-b，-a]上的最大值为-1，最小值为-4，最大值与最小值的和-5；
∴f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为-5或9
故答案为：-5或9．

点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．