题目内容
【题目】据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V（单位：立方米/小时）是垃圾杂物密度x（单位：千克/立方米）的函数。当下水道的垃圾杂物密度达到3千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.5千克/立方米时，排水量是80立方米/小时。研究表明，当
时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数.
（1）当
时，求函数
的解析式；
（2）当垃圾杂物密度x为多大时，垃圾杂物量（单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时）
可以达到最大？求出这个最大值.
【答案】（1）
；（2）密度
千克/立方米时，最大值72千克/小时
【解析】
(1)当
时设
，代入点（0.5，80），（3，0）列出方程组求解即可，当
时，
；最后用分段函数表示出
即可；(2)表示出
的解析式为分段函数，对上的函数利用一次函数的单调性求最大值，对上的函数利用二次函数的单调性求最大值，比较两段的最大值即可得解.
（1）当时，设函数的解析式为.
将（0.5，80），（3，0）代人得
，解得
，
所以
（2）
.
当时，
单调递增，最大值为40千克/小时；
当时，
.
所以当
时，
取到最大值72，
即当垃圾杂物密度千克/立方米时，取得最大值72千克/小时.
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