Question

在△ABC中，已知1+

tanA

tanB

=

2sinC

sinB

．
（1）求角A的大小；
（2）若

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos2

C

2

），试求|

m

+

n

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，且化弦通分可得

sinBcosA+sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，再由和差角的公式可得cosA的值，结合范围可得A；
（2）由题意可得

m

+

n

的坐标，结合三角函数的运算可得|

m

+

n

|2=1-

1

2

sin（2B-

π

6

），由B的范围可得该式子的范围，开方可得．

解答：解（1）∵1+

tanA

tanB

=

2sinC

sinB

，
∴1+

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，
即

sinBcosA+sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，
∴

sin(A+B)

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，∴cosA=

1

2

∵0＜A＜π，∴A=

π

3

（2）由题意可得

m

+

n

=（cosB，2cos2

C

2

-1）=（cosB，cosC），
∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，∴|

m

+

n

|2=cos²B+cos²C=cos²B+cos²（

2π

3

-B）
=cos²B+（-

1

2

cosB+

3

2

sinB）²=1+

1

4

cos2B-

3

4

sin2B
=1-

1

2

sin（2B-

π

6

），又B+C=

2π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴当sin（2B-

π

6

）=1，即B=

π

3

时，|

m

+

n

|2取最小值

1

2

，
∴|

m

+

n

|的最小值为

2

2

点评：本题考查向量的模长的求解，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．