Question

【题目】已知函数，实数.

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.

（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.

（1）由题知的定义域为，

.

∵，，∴由可得.

（i）当时，

，当时，单递减；

（ii）当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上所述，时，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增.

（2）由题意：不等式在成立

即在时有解.

设，，只需.

则，因为，

所以在上，，

在上，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

因此.

不等式在成立，

则恒成立.

又，所以恒成立.

令，则.

在上，，单调递增；

在上，，单调递减.

所以.

因此解可得且，

即且.

所以实数a的取值范围是.