Question

已知函数f（x）=2^x的反函数为y=f^-1（x）．若f^-1（a）+f^-1（b）=4，则

1

a

+

4

b

的最小值为（　　）

• A、

  5

  4

• B、

  9

  4

• C、

  9

  18

• D、1

Answer 1

分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相关知识．根据y=2^x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（a）+f^-1（b）=4可得a、b的关系式，根据基本不等式

a+b

2

≥

ab

即可得到

1

a

+

4

b

最小值．

解答：解析：函数y=f^-1（x）=log₂^x，
又f^-1（a）+f^-1（b）=4
?log₂^a+log₂^b=4
?ab=16，
∴

1

a

+

4

b

≥2

4 ab

=1，
故选D．

点评：本题小巧灵活，用到的知识比较丰富，具有综合性特点，涉及了反函数、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知识，是这些内容的有机融合，思维密度较大；解题中用注意对数的运算公式化简log₂a+log₂b=4得a、b的关系式．