Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据导数的意义可知，解得切点；

（2）将所证明不等式转化为证明恒成立，设，利用导数证明；

（3）等价于，等价于，且，令，利用导数分析函数的性质，可知函数的极小值0，极大值，讨论当，，，时，结合零点存在性定理确定零点的个数.

（1）．所以过点的切线方程为，所以，

解得或．

（2）证明：即证，因为，所以即证，

设，则．

令，解得．

		4
	-	0	+
	减	极小	增

所以 当时，取得最小值．

所以当时，．

（3）解：等价于，等价于，且．

令，则．

令，得或，

		1
	-	0	+	0	-
	减	极小0	增	极大	减

（Ⅰ）当时，，所以无零点，即定义域内无零点

（Ⅱ）当即时，若，因为，

，所以在只有一个零点，

而当时，，所以只有一个零点；

（Ⅲ）当即时，由（Ⅱ）知在只有一个零点，且当时，，所以恰好有两个零点；

（Ⅳ）当即时，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在只有一个零点，在只有一个零点，在时，因为，

只要比较与的大小，即只要比较与的大小，

令，

因为，因为，所以，

所以，

即，所以，即在也只有一解，所以有三个零点；

综上所述：当时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2；当时，函数的零点个数为3．