题目内容
某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11 x)2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a≤3)．
（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L (x)与出厂价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．
解析：（Ⅰ）依题意，L (x) = (x 3 ) (11 x)2 a (11 x)2
= (x 3 a) (11 x)2，x∈[7，10]． ………………5分
（Ⅱ）因为L′(x) = (11 x)2 2 (x 3 a) (11 x) = (11 x ) (11 x 2x + 6 + 2a)
= (11 x )(17 + 2a 3x)．
由L′(x) = 0，得x = 11
[7，10]或x = 
． ………………7分
∵1≤a≤3，∴
．
在x = 的两侧L′(x)由正变负， ……………………8分
故①当
，即1≤a≤2时，L′(x)在[7，10]上恒为负，∴L (x)在[7，10]上为减函数．
∴[L (x)]max = L (7) = 16 (4 a)． ………………………………10分
②当7
，即2<a≤3时， [L (x)]max = L
……12分
即1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16 (4 a)万元．当2<a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为
(8 a)3万元． …………13分
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