Question

某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)²万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3)．

(Ⅰ)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；

(Ⅱ)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依题意，L(x)＝(x－3)(11－x)2－a(11－x)2 　　＝(x－3－a)(11－x)2，x∈[7，10]．　5分 　　(Ⅱ)因为(x)＝(11－x)2－2(x－3－a)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a) 　　＝(11－x)(17＋2a－3x)． 　　由(x)＝0，得x＝11[7，10]或x＝．　7分 　　因为1≤a≤3，所以． 　　在x＝的两侧(x)由正变负，　8分 　　故①当，即1≤a≤2时，(x)在[7，10]上恒为负，则L(x)在[7，10]上为减函数． 　　所以[L(x)]max＝L(7)＝16(4－a)．　10分 　　②当7，即2＜a≤3时， 　　[L(x)]max＝L．　12分 　　即1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元．当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－a)3万元．　13分