Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=，取倒数可得，从而数列是等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根据b_n=a_n-1•a_n（n≥2），可得，进而可裂项求和
，从而将，转化为对一切n∈N^*成立，故可求．
解答：证明：（Ⅰ）∵，
∴a_n+1=
∴
∴数列是等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知；
当n≥2时，
当n=1时，上式同样成立
∴
∴，即对一切n∈N^*成立，
又随n递增，且
∴，
∴m≥2011，
∴m_最小=2011
点评：本题以函数为载体，考查构造法证明等差数列，考查裂项求和，考查恒成立问题，综合性强．