Question

设函数f(x)=

kx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）若

lim

x→+∞

f(x)=a且f（|t|+2）＜f（4a），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f(x)=

kx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称故函数f(x)=

kx+2

x-1

的反函数为其本身所以可求出函数f（x）的反函数然后令f^-1（x）=f（x）即可求出k．
（2）可在（1）的基础上求出a然后判断函数f（x）的单调性再根据单调性解不等式f（|t|+2）＜f（4a）即可．

解答：解：（1）∵y=f(x)=

kx+2

x-1

∴x=

2+y

y-k

∴f^-1（x）=

2+x

x-k

∵函数f(x)=

kx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称
∴

2+x

x-k

=

kx+2

x-1

∴k=1
（2）由（1）知k=1∴a=

lim

x→+∞

f(x)=

lim

x→+∞

x+2

x-1

=

lim

x→+∞

1+ 2 x

1- 2 x

=1
∵f（|t|+2）＜f（4a）
∴f（|t|+2）＜f（4）
∵f（x）=

x+2

x-1

= 1+

3

x-1

在（1，+∞）单调递减且|t|+2≥2＞1，4＞1
∴|t|+2＞4
∴t＞2或t＜-2

点评：本题主要考察了反函数的概念和利用函数的单调性解不等式．解题的关键是第一问要根据条件函数f(x)=

kx+2

x-1

的图象关于直线y=x对称分析出函数f(x)=

kx+2

x-1

的反函数仍为其本身而对于第二问先利用极限的四则运算法则求出a的值然后可得出|t|+2≥2＞1，4＞1故要判断f（x）=

x+2

x-1

= 1+

3

x-1

在（1，+∞）上的单调性然后根据单调性和函数值的大小脱去符号“f”从而得出t的取值范围！