Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知2bcosA=2c-a．
（I）求角B的大小；
（II）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c-a，可得（2cosB-1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB=

1

2

，从而解出B=

π

3

；
（II）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，解出4=a²+c²-ac．再利用基本不等式和三角形的面积公式加以计算，可得当且仅当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵2bcosA=2c-a，
∴根据正弦定理，得2sinBcosA=2sinC-sinA，
∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，
∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinA，
化简得（2cosB-1）sinA=0
∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB-1=0，解得cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得 4=a²+c²-ac．
∵a²+c²≥2ac，
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，解之得ac≤4，
∴△ABC的面积S△ABC=

1

2

acsinB≤

3

，
由此可得：当且仅当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

．

点评：本题着重考查了正余弦定理、两角和与差的三角函数公式和诱导公式、运用基本不等式求最值和三角形的面积公式等知识，属于中档题．