Question

已知圆G过点A（2，0），B（5，3），C（3，-1），过点A的直线l₁，l₂，分别交圆G于点M，N（M，N不与A重合），且它们的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=0．
（Ⅰ）求圆G的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN的斜率为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆G的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把圆经过的三个点的坐标代入求得待定系数，从而得到圆G的方程．
（Ⅱ）设直线l₁的方程为y=k₁（x-2），代入圆的方程可求得M的坐标，同理可求的N的坐标，利用斜率公式化简MN的
斜率得到定值．

解答：解：（Ⅰ）设圆G的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，因为圆G过点A（2，0），B（5，3），C（3，-1），
所以，

4+2D+F=0 34+5D+3E+F=0 10+3D-E+F=0

，解得

D=-8 E=-2 F=12

，所以圆G的方程为x²+y²-8x-2y+12=0．
（Ⅱ）设直线l₁的方程为y=k₁（x-2），
由 

x2+y2-8x-2y+12=0 y=k1(x-2)

 消去y  得 （k₁²+1）x²-2（2k₁²+k₁+4）x+（4k₁²+4k₁+12）=0，
解得

x=2 y=0

或

x= 2 k 2 1 +2k1+6 k 2 1 +1 y= 2 k 2 1 +4k1 k 2 1 +1

，所以M(

2 k 2 1 +2k1+6

k 2 1 +1

，

2 k 2 1 +4k1

k 2 1 +1

)．
同理N(

2 k 2 2 +2k2+6

k 2 2 +1

，

2 k 2 2 +4k2

k 2 2 +1

)，又k₁+k₂=0，所以N(

2 k 2 1 -2k1+6

k 2 1 +1

，

2 k 2 1 -4k1

k 2 1 +1

)，
kMN=

-8k1 k 2 1 +1

-4k1 k 2 1 +1

=2（定值），故结论成立．

点评：本题考查用待定系数法求圆的一般式方程，直线和圆相交的性质，求出M、N两点的坐标是解题的难点．