题目内容

已知sin $数学公式$ 、cos $数学公式$ 是y的方程y²+py+q=0的两个实根，设函数f（x）=p²+2（ $数学公式$ -1）q-2cos² $数学公式$ ，试问
（1）求f（x）的最值；（2）求f（x）的单增区间．

解：（1）根与系数的关系 sin $\text{[math]}$ +cos $\text{[math]}$ =-p
sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =q
p²=sin² $\text{[math]}$ +cos² $\text{[math]}$ +2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =1+2q
f（x）=p²+2（ $\text{[math]}$ -1）q-2cos² $\text{[math]}$
=1+2q+2（ $\text{[math]}$ -1）q-2cos² $\text{[math]}$
=1-2cos² $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ q
1-2cos² $\text{[math]}$ =-cos $\text{[math]}$ 2q=2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =sin $\text{[math]}$
f（x）= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ -cos $\text{[math]}$ =2sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
f（x）的最大值 2，最小值-2
（2）因为y=sinx的增区间：2kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤2kπ+ $\text{[math]}$ k∈Z，
所以f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ ）的单调增区间（- $\text{[math]}$ +4kπ， $\text{[math]}$ +4kπ）k∈Z．
分析：（1）利用韦达定理求出p，q代入f（x）=p²+2（ $\text{[math]}$ -1）q-2cos² $\text{[math]}$ ，求f（x）的表达式，然后求其最值；
（2）根据函数f（x）的表达式，利用正弦函数的增区间，求出函数f（x）单增区间．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．