Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、G分别是A₁A，D₁C，AD的中点。求证：

（1）MN∥平面ABCD；
（2）MN⊥平面B₁BG。

Answer 1

解：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE
由N，E分别为CD₁与CD的中点可得
NE∥D₁D且NE=D₁D，
又AM∥D₁D且AM=D₁D
所以AM∥EN且AM=EN，
即四边形AMNE为平行四边形
所以MN∥AE，
又AE面ABCD
所以MN∥面ABCD。
（2）由AG=DE，，
DA=AB
可得与全等
所以，
又，
所以
所以
又
所以，
又MN∥AE，
所以MN⊥平面B₁BG。