Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（2）设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦；
（3）求二面角A-PE-C的大小．

Answer 1

（1）证明：∵PE=PF=1，EF=，∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PCF
∵PE?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCF；（4分）
（2）如图，建立坐标系，则，
平面PAE的法向量是，设MN与平面PAE 所成的角为θ
∴（9分）
（3）平面PAE的法向量是，设平面PEC的法向量
∴，则
所以
所以
所以二面角A-PE-C的大小为135°（14分）
分析：（1）证明平面PCE⊥平面PCF，利用面面垂直的判定，证明PE⊥平面PCF即可；
（2）建立坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（3）求出平面PAE的法向量是，平面PEC的法向量，利用．即可求得结论．
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是正确运用面面垂直的判定，正确建立坐标系，利用向量的方法解决立体几何问题．