Question

已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设第个正方形的边长为，求前个正方形的面积之和.
（注：表示与的最小值.）

Answer 1

（1），；（2）.

试题分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式分别求出数列与的通项公式；（2）先利用作差法确定与的大小，在比较两者的大小是，一是利用数学归纳法，方法二是利用二项式定理，确定数列的通项公式（用分段数列的形式来进行表示，然后对的取值进行分类讨论，进而求出.
试题解析：（1）由于数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，
又因为数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此；
2）因为，，，，，，
，，，，，，
易知当时，，
下面证明当时，不等式成立.
方法1：（i）当时，，不等式显然成立，
（ii）假设当时，不等式成立，即，
则有，
这说明当时，不等式也成立，
综合（i）（ii）可知，不等式对的所有整数都成立.
所以当时，；
方法2：因为当时，

，
所以当时，，所以，
则，
当时，
，
当时，




.
综上可知，.