Question

已知无穷数列，，…，，…，求证：

(1)这个数列是等比数列；

(2)这个数列中的任一项是其后第5项的；

(3)数列中任两项之积仍为数列中的项.

Answer 1

证明:(1)任取数列中的相邻两项a_n=,a_n+1=,则==.

由等比数列定义可知数列为等比数列.

(2)任取数列中一项a_m=，则其后第5项应为a_m+5=.

则===10^－1=,得证.

(3)任取数列中两项=,=,

则·=·=.

∵n₁≥1,n₂≥1，且n₁、n₂∈N^*,

∴n₁+n₂－2＞0，且n₁+n₂－2∈N^*.

∴·符合已知数列中项的特点，即·为数列中的项.