Question

【题目】已知椭圆C的一焦点与的焦点重合，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点M满足，点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）能，x＝1或3x﹣8y+5＝0．

【解析】

（1）求出抛物线焦点坐标，即为椭圆一焦点，可得的一方程，由已知点在椭圆上又得一个的方程，联立后可解得，得椭圆方程；

（2）假设存在四边形OAPB为平行四边形，需要分类讨论，当直线的斜率不存在时，即x＝1，可求得点坐标，得证，当直线的斜率存在时，设l的方程为：y＝kx+m，显然k≠0，m≠0，设，， M（x0，y0），由直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理求得点坐标，再由平行四边形得点坐标，利用直线过点及在椭圆上，可求得(交待此时直线与椭圆相交)，得直线方程．

（1）的焦点为：（，0），由题意得c，点在椭圆C上，

∴1，又a2＝b2+c2∴a2＝4，b2＝1，

所以椭圆C的方程为：y2＝1；

（2）假设存在四边形OAPB为平行四边形，当直线的斜率不存在时，即x＝1，

则A（1，），B（1，），

则中点M的坐标（1，0），

所以P的坐标（2，0），这时（1，），

（1，），∴，

所以符合题意，这时直线l的方程：x＝1，

当直线的斜率存在时，设l的方程为：y＝kx+m，显然k≠0，m≠0，

设，， M（x0，y0），

将直线与椭圆联立整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0，

，，

所以M（，），

四边形OAPB为平行四边形时，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即：xP＝2x0，yP＝2y0，

则，

又直线l过（1，1），

所以 m＝1﹣k，两式联立得：k，m，满足△＞0，符合条件，

所以这时直线l的方程：yx，即：3x﹣8y+5＝0

综上所述直线l的方程：x＝1或3x﹣8y+5＝0．