题目内容

直线y=x+1与椭圆m x ²+n y ²=1（ m，n＞0 ）相交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标是- $数学公式$ ，则双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1的两条渐近线所夹的锐角等于

A.
2arctan2
B.
2arctan $数学公式$
C.
π-2arctan2
D.
π-2arctan $数学公式$

B
分析：把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而根据x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，求得n和m的关系，求得渐近线的斜率，进而根据两条渐近线夹角为渐近线的倾斜角的两倍，进而求得答案．
解答：把直线与椭圆方程联立 $\text{[math]}$ 消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1的一条渐近线y= $\text{[math]}$ x的倾斜角为arctan $\text{[math]}$ ；
∴两条渐近线所夹的锐角等于2arctan $\text{[math]}$
故选B．
点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、两直线的夹角、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．

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（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
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=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S_△AMB．

已知直线y=-x+1与椭圆

=1(a＞0，b＞0)相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

，焦距为2，求线段AB的长；
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互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[

]时，求椭圆的长轴长的最大值．

已知直线y=-x+1与椭圆

=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
（I）求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1（e为椭圆的离心率）；
（II）若2|

)时，求a的取值范围．