Question

（22）已知某椭圆的焦点是F₁（－4，0）、F₂（4，0），过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|＋|F₂B|＝10.椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：

|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列.

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；

（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.

Answer 1

（22）本题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查综合运用数学知识和方法分析、解决问题的能力.

（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知

2a＝|F₁B|＋|F₂B|＝10，

得　a＝5.又c＝4，

所以　b＝＝3.

故椭圆方程为＋＝1.

 

 

 

 

 

（Ⅱ）由点B（4，y_B）在椭圆上，得|F₂B|＝|y_B|＝.

 

解法一：

因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为.

 

根据椭圆定义，有|F₂A|＝（－x₁），|F₂C|＝（－x₂）.

 

由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列得，（－x₁）＋（－x₂）＝2×.

由此得出x₁＋x₂＝8.

 

设弦AC的中点为P（x₀，y₀），则　x₀＝＝＝4.

解法二：

由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得

＝2×.   　　　　　　　①

 

由A（x₁，y₁）在椭圆＝1上，得y₁²＝（25－x₁²）.

 

所以＝

＝.                   ②

同理可得.     　　　　　　　③

将②、③代入①式，得.

所以x₁＋x₂＝8.

设弦AC的中点为P（x₀，y₀），则 x₀＝＝＝4.

（Ⅲ）解法一：

由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在椭圆上，得

    9x₁²＋25y₁²＝9×25，                            ④

  9x₂²＋25y₂²＝9×25.                               ⑤

由④－⑤得9（x₁²－x₂²）＋25（y₁²－y₂²）＝0，

 

即　9（）＋25（）（）＝0（x₁≠x₂）.

 

将＝x₀＝4，＝y₀，＝－（k≠0）代入上式，得

9×4＋25y₀（－）＝0（k≠0）.

由上式得　k＝y₀（当k=0时也成立）.

 

由点P（4，y₀）在弦AC的垂直平分线上，得y₀＝4k＋m，

 

所以　m＝y₀－4k＝y₀－y₀＝－y₀.

 

由P（4，y₀）在线段BB′（B′与B关于x轴对称，如图）的内部，得－＜y₀＜，

所以　－＜m＜.

注：在推导过程中，未写明“x₁≠x₂”“k≠0”“k=0时也成立”及把结论写为“－≤m≤”的均不扣分.

 

解法二：

因为弦AC的中点为P（4，y₀），所以直线AC的方程为y－y₀＝－（x－4）（k≠0）   ⑥

将⑥代入椭圆方程＝1，得

（9k²＋25）x²－50（k y₀＋4）x＋25（k y₀＋4）²－25×9k²＝0，

 

所以x₁＋x₂＝.

解得k＝（当k=0时也成立）

以下步骤同解法一.