Question

定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离．
（1）求曲线到直线的距离；
（2）若曲线到直线的距离为，求实数的值；
（3）求圆到曲线的距离．

Answer 1

（1）
（2）
（3）

试题分析：解 （1）设曲线的点，则，所以曲线到直线的距离为．   5分
（2）由题意，得，．   10分
（3）因为，所以曲线是中心在的双曲线的一支．   13分
如图，由图形的对称性知，当、是直线和圆、双曲线的交点时，有最小值．

此时，解方程组得，于是，所以圆到曲线的距离为．     16分
另解 令，
，当且仅当时等号成立．（相应给分）
点评：主要是考查了两点之间的距离和点到直线的距离，属于基础题。