题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求a＞2时，函数f（x）在区间（-1，1）上的极值．

解：（I）当a=1时，f（x）= $\text{[math]}$ x³-x²+ $\text{[math]}$ ，f′（x）=x²-2x…（2分）
∴k=f′（1）=1-2=-1，f（1）= $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ =0，
∴y-0=-（x-1）
即x+y-1=0为所求切线方程．…（4分）
（II） $\text{[math]}$ ，f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x- $\text{[math]}$ ），
令f'（x）=0得x=0或x= $\text{[math]}$ …（6分）
当a＞2时，0＜ $\text{[math]}$ ＜1，
令f'（x）＞0可得x＜0或x＞ $\text{[math]}$ ；令f'（x）＜0可得0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0， $\text{[math]}$ ）递减，在（ $\text{[math]}$ ，1）递增
∴f（x）的极大值为f（0）= $\text{[math]}$ ，f（x）的极小值为f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …（10分）
分析：（I）当a=1时，利用导数的几何意义，确定切线的斜率，求得切点坐标，即可得到切线方程；
（II）当a＞2时，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极大值和极小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导，恰当计算是关键．