Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90^o，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）如图，连接CA₁、AC₁、CM，要证CD⊥平面BDM，只需证明直线CD垂直平面BDM内两条相交直线A₁B、DM即可；
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B₁G、FG、B₁F，说明∠B₁GF
是所求二面角的平面角，然后解三角形，求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小．
法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出相关向量计算即得证，
（Ⅱ）求出面B₁BD与面CBD的法向量，利用向量的数量积求解可得答案．
解答：解：法一：（I）如图，连接CA₁、AC₁、CM，则CA₁=，
∵CB=CA₁=，∴△CBA₁为等腰三角形，
又知D为其底边A₁B的中点，∴CD⊥A₁B，
∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=，
又BB₁=1，∴A₁B=2，
∵△A₁CB为直角三角形，D为A₁B的中点，CD=A₁B=1，CD=CC₁．
又DM=AC₁=，DM=C₁M，∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM，
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM．

（II）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B₁G、FG、B₁F，
则FG∥CD，FG=CD．∴FG=，FG⊥BD．
由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D，知BD=B₁D=A₁B=1，
所以△BB₁D是边长为1的正三角形，于是B₁G⊥BD，B₁G=，
∴∠B₁GF是所求二面角的平面角．
又B₁F²=B₁B²+BF²=1+（）²=．
∴cos∠B₁GF=．
即所求二面角的大小为π-arccos．

法二：如图以C为原点建立坐标系．
（I）B（，0，0），B₁（，1，0），A₁（0，1，1），D（，，），
M（，1，0），=（，，），=（，-1，-1），=（0，，-），，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM．

（II）设BD中点为G，连接B₁G，
则G，=（-，，），=，
∴，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角，
cos
所以所求二面角的大小为π-arccos．
点评：本题考查直线与平面的垂直判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．