Question

（2010•崇明县二模）已知函数f(x)=a-

1

|x|

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，由f(x1)-f(x2)=a-

1

|x1|

-a+

1

|x2|

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0，能够证明函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a＜

1

x

+2x．记g(x)=

1

x

+2x，在（1，+∞）上是增函数，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范围．
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m两种情况分别讨论实数a的取值范围．

解答：解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，
f(x1)-f(x2)=a-

1

|x1|

-a+

1

|x2|

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0
所以：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得a-

1

x

＜2x即a＜

1

x

+2x
记g(x)=

1

x

+2x，在（1，+∞）上是增函数，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数

f(m)=m f(n)=n

，解得：a＞2
ⅱ） 当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数

f(m)=n f(n)=m

，解得：a=0
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性质的应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．