题目内容

函数f（x）=sin2x+2 $数学公式$ cos²x- $数学公式$ ，函数g（x）=mcos（2x- $数学公式$ ）-2m+3（m＞0），若存在x₁，x₂ $数学公式$ ，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是________．

[ $\text{[math]}$ ，2]
分析：由x∈[0， $\text{[math]}$ ]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[- $\text{[math]}$ +3，3-m]，依题意，存在x₁，x₂ $\text{[math]}$ ，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．
解答：∵f（x）=sin2x+2 $\text{[math]}$ cos²x- $\text{[math]}$ =sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
当x∈[0， $\text{[math]}$ ]，2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
对于g（x）=mcos（2x- $\text{[math]}$ ）-2m+3（m＞0），2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，mcos（2x- $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，m]，
∴g（x）∈[- $\text{[math]}$ +3，3-m]，
若存在x₁，x₂ $\text{[math]}$ ，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则3-m≥1，- $\text{[math]}$ +3≤2，解得实数m的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，2]．
故答案为：[ $\text{[math]}$ ，2]．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“存在x₁，x₂ $\text{[math]}$ ，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含义，属于难题．