题目内容

给定的抛物线y²=2px（p＞0），在x轴上是否存在一点K，使得对于抛物线上任意一条过K的弦PQ，均有 $数学公式$ 为定值，若存在，求出点K及定值；若不存在，说明理由．

解：设存在点K（x₀，0）满足题意，
直线PQ： $\text{[math]}$ （α为直线的倾斜角，t为参数），
代入y²=2px，得t²sin²α-（2pcosα）t-2px₀=0，
令t₁，t₂为方程的两根，则由韦达定理，
得t₁+t₂= $\text{[math]}$ ，t₁t₂= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
要使得 $\text{[math]}$ 不随α变化而变化，只要取x₀=p即可，
此时 $\text{[math]}$ 为定值．这就是说这样的K存在，即K（p，0）．
分析：先假设存在点K满足条件，然后设出直线PQ的参数方程后代入到抛物线中得到关于t的一元二次方程，进而根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再代入到 $\text{[math]}$ 中得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可得到使得 $\text{[math]}$ 不随α变化而变化，只要取x₀=p即可满足要求，即可求出点K的坐标．
点评：本题主要考查直线方程的参数形式和直线与抛物线的综合应用．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，要多加练习．

练习册系列答案

1加1阅读好卷系列答案

专项复习训练系列答案

初中语文教与学阅读系列答案

阅读快车系列答案

完形填空与阅读理解周秘计划系列答案

英语阅读理解150篇系列答案

奔腾英语系列答案

标准阅读系列答案

53English系列答案

考纲强化阅读系列答案

相关题目

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x₀＞2．
（I）证明：点P（x₀，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由．

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求

的值；
（2）设

，当三角形OAB的面积S∈[2，

]时，求λ的取值范围．

给定整数n≥2，设M₀（x₀，y₀）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

（2012•长宁区二模）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为

)的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

给定的抛物线y²=2px（p＞0），在x轴上是否存在一点K，使得对于抛物线上任意一条过K的弦PQ，均有

为定值，若存在，求出点K及定值；若不存在，说明理由．