题目内容

给定的抛物线y2=2px（p＞0），在x轴上是否存在一点K，使得对于抛物线上任意一条过K的弦PQ，均有
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
为定值，若存在，求出点K及定值；若不存在，说明理由．
分析：先假设存在点K满足条件，然后设出直线PQ的参数方程后代入到抛物线中得到关于t的一元二次方程，进而根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再代入到
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
中得到
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
=
p2cos2α+px0sin2α
p2x02
，从而可得到使得
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
不随α变化而变化，只要取x0=p即可满足要求，即可求出点K的坐标．
解答：解：设存在点K（x0，0）满足题意，
直线PQ：
x=x0+tcosα
y=tsinα
（α为直线的倾斜角，t为参数），
代入y2=2px，得t2sin2α-（2pcosα）t-2px0=0，
令t1，t2为方程的两根，则由韦达定理，
得t1+t2=
2pcosα
sin2α
，t1t2=-
2px0
sin2α
，
∴
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
=
1
t
2
1
+
1
t
2
2
=
t
2
1
+
t
2
2
t
2
1
t
2
2
=
(
t
 
1
+
t
 
2
)2-2
t
 
1
t
 
2
(
t
 
1
t
 
2
)2
=
4p2cos2α+4px0sin2α
4p2x02

=
p2cos2α+px0sin2α
p2x02

要使得
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
不随α变化而变化，只要取x0=p即可，
此时
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
=
1
p2
为定值．这就是说这样的K存在，即K（p，0）．
点评：本题主要考查直线方程的参数形式和直线与抛物线的综合应用．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，要多加练习．
练习册系列答案
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（1）求
OA
•
OB
的值；
（2）设
AF
=λ
FB
，当三角形OAB的面积S∈[2，
5
]时，求λ的取值范围．
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x
m
0
，y
m
0
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（1）求抛物线C的方程；
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d
=(1，
3
)的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
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