Question

已知数列{a_n}是等差数列,a₂=6,a₅=12,数列{b_n}的前n项和是S_n,且S_n+b_n=1.
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)求证:数列{b_n}是等比数列.
(3)记c_n=,{c_n}的前n项和为T_n,若T_n<对一切n∈N^*都成立,求最小正整数m.

Answer 1

(1) a_n=2n+2   (2)见解析   (3) 2012

(1)设{a_n}的公差为d,则a₂=a₁+d,a₅=a₁+4d.
∵a₂=6,a₅=12,∴
解得:a₁=4,d=2.∴a_n=4+2(n-1)=2n+2.
(2)当n=1时,b₁=S₁,由S₁+b₁=1,得b₁=.
当n≥2时,∵S_n=1-b_n,S_n-1=1-b_n-1,
∴S_n-S_n-1=(b_n-1-b_n),即b_n=(b_n-1-b_n).
∴b_n=b_n-1.
∴{b_n}是以为首项,为公比的等比数列.
(3)由(2)可知:b_n=·()^n-1=2·()ⁿ.
∴c_n====-,
∴T_n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,
由已知得≥1,∴m≥2012,
∴最小正整数m=2012.