Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且sin（B+C）=3sinAcosB．
（1）求sinB的值；
（2）若b=4

2

，且a=c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知等式的左边，再由sinA不为0，两边同时除以sinA，得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinB的值；
（2）在三角形ABC中，由b，cosB的值以及a=c，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A+B+C=π，即B+C=π-A，
∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
又sin（B+C）=3sinAcosB，
∴sinA=3sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

3

，又B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

；
（2）在△ABC中，b=4

2

，cosB=

1

3

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-

2

3

ac=32，
又a=c，∴

4

3

a²=32，即a²=24，
则△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

a²sinB=

1

2

×24×

2 2

3

=8

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．