题目内容

曲线y=0，y=
x
，y=x-2所围成的封闭图形的面积为
10
3
10
3
．
分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出．
解答：解：联立方程
y=x-2
y=
x
可得B（4，2），A（2，0）
由积分的几何意义可得S=
∫
2
0
x
dx+
∫
4
2
(
x
-x+2)dx=
2
3
x
3
2
|
2
0
+
2
3
x
3
2
-
1
2
x2+2x
|
4
2

=
4
2
3
+
16
3
-
4
2
3
-
1
2
×12+4=
10
3

故答案为：
10
3
点评：本题主要考查了积分基本定理及积分的几何意义的应用，熟练掌握微积分基本定理定理是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程是（　　）
（1）已知函数f（x）=ax-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x0（x0≠3，保留4位有效数字），使得f（x0）＜0成立；
（2）在曲线y=x-
2
x
上存在两个不同点关于直线y=x对称，求出其坐标；若曲线y=x+
p
x
（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题，并取a=
1
16
及a=
2
2
加以研究．当0＜a＜1时，就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，
1
e
]上单调递减，在区间[
1
e
，1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）
曲线y=x+ex在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A、2x+y-1=0B、x+2y-1=0C、2x-y+1=0D、x-2y+1=0

已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是

 

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