题目内容

已知斜率为1的直线l与双曲线交于B，D两点，BD的中点为M(1，3)．

(Ⅰ)求C的离心率；

(Ⅱ)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A，B，D的圆与x轴相切．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)由题设知，的方程为：，

　　代入C的方程，并化简，得，

　　设，

　　则　　①

　　由为BD的中点知，故

　　即　　②

　　故

　　所以C的离心率

　　(Ⅱ)由①②知，C的方程为：，

　　故不妨设，

　　，

　　，

　　．

　　又，

　　故，

　　解得，或(舍去)，

　　故，

　　连结MA，则由，知，从而，且轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切．


练习册系列答案
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已知斜率为1的直线l与双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于BD两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D的圆与x轴相切．
已知斜率为1的直线l与双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b2-a2取值范围．
已知斜率为1的直线l与双曲线x2-
y2
2
=1交于A、B两点，且|AB|=4
2
，求直线l的方程．
（2012•宿州一模）已知斜率为1的直线l与双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
已知斜率为1的直线l过椭圆
x24
+y2=1的右焦点F2．
（1）求直线l的方程；
（2）若l与椭圆交于点A、B 两点，F1为椭圆左焦点，求S△F1AB．

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