Question

设A、B是椭圆C：3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点．
（I）求直线AB的方程，并确定λ的取值范围；
（II）在x轴上存在一个点E，使△EAB为正三角形，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（I）利用点差法来求中点弦方程，设出A，B点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．再根据点N（1，3）在椭圆内部，代入椭圆方程，小于λ，即可求出λ的范围．
（II）因为△EAB为正三角形，N（1，3）是线段AB的中点，所以线段AB的中垂线为EN，由因为E点在x轴上，可求出E点坐标，利用两点间的距离公式，求出EN长，在正三角形中，中线是边长的

3

2

，可求出△EAB的边长，再用弦长公式即可求出λ的值．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

3 x 2 1 + y 2 1 =λ 3 x 2 2 + y 2 2 =λ

⇒3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依题意，x1≠x2， ∴kAB=-

3(x1+x2)

y1+y2

．
∵N（1，3）是AB的中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，从而k_AB=-1…4分直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
又由N（1，3）在椭圆内，λ＞3×1²+3²=12．
∴λ的取值范围是（12，+∞）．
（II）易得：线段AB的中垂线方程为：y=x+2，令y=0得：点E的人坐标为（-2，0）
∴|EN|=

32+32

=3

2

．
又由|EN|=

3

2

|AB|得：
|AB|=

2

3

|EN|=2

6

．
∴|AB|=|x1-x2|

1+k2

=

△

|a|

1+k2

=

16(λ-12)

4

•

2

=

2λ-24

∴由

2λ-24

=2

6

得λ=24
∴此时椭圆的方程为：C：

x2

8

+

y2

24

=1．

点评：本题主要考查了直线与椭圆相交时中点弦，弦长公式的应用，属于常规题．