Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）求

OB

•

OE

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，可求b的值，再利用椭圆的离心率为

1

2

，即可求出椭圆C的方程；
（2）设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），将直线PB：y=

y0

4-x0

(x-4)代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，可得[3+

4y02

(4-x0)2

]x²-

32y02

(4-x0)2

x+

64y02

(4-x0)2

-12=0，从而可得E的坐标，从而可得直线AE的方程，进而可知直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）由（2）知x₁+x₀=

8-2x02

5-2x0

，x₁x₀=

8x0-5x02

5-2x0

，y₁y₀=

-3y02

5-2x0

=

-9+ 9 4 x02

5-2x0

，

OB

•

OE

=x₁x₀-y₁y₀，从而可得

OB

•

OE

=

-11x02+32x0-36

4(5-2x0)

，设5-2x₀=t，进而可确定

OB

•

OE

的取值范围．

解答：（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，
∴b=

6

2

=

3

，
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，
∴

c

a

= 

1

2

∴

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a2=

4

3

b2=4，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）证明：设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）
将直线PB：y=

y0

4-x0

(x-4)代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，可得[3+

4y02

(4-x0)2

]x²-

32y02

(4-x0)2

x+

64y02

(4-x0)2

-12=0
设E（x₁，y₁），则x₁+x₀=

32y02

3(4-x0)2+4y02

=

96-24x02

3(4-x0)2+12-3x02

=

8-2x02

5-2x0

∴x1=

8-5x0

5-2x0

，∴y₁=

-3y0

5-2x0

∴直线AE：y- y0= 

y0- -3y0 5-2x0

x0-  8-5x0 5-2x0

(x-x0)
化简可得y=

y0

x0-1

(x-1)
∴直线AE与x轴相交于定点Q：（1，0）
（3）解：由（2）知x₁+x₀=

8-2x02

5-2x0

，x₁x₀=

8x0-5x02

5-2x0

，y₁y₀=

-3y02

5-2x0

=

-9+ 9 4 x02

5-2x0

∵

OB

•

OE

=x₁x₀-y₁y₀，
∴

OB

•

OE

=

8x0-5x02

5-2x0

-

-9+ 9 4 x02

5-2x0

=

-29x02+32x0+36

4(5-2x0)

设5-2x₀=t，∵x₀∈（-2，2），∴t∈（1，9）
∴

OB

•

OE

=-

29

16

(t+

9

t

)+

113

8

∵t∈（1，9），∴t+

9

t

∈[6，10)
∴

OB

•

OE

∈（-4，

13

4

]

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查向量知识的运用，同时考查学生分析解决问题的能力与计算能力．