Question

设a为实数，
1）若y=f（x）有平行于x轴的切线，求实数a的取值范围
2）若f′（-1）=0，①求y=f（x）的单调区间；②任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，不等式：|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据求导公式和法则求出导数，再由题意得f′（x）=0有解，根据判别式与方程的根关系，列出不等式求出a的范围；
（2）由f′（-1）=0求出a的值，代入由f′（x），求出临界点，f′（x）≥0和f′（x）≤0解集，即求出函数单调区间，再求出[-1，0]上的最大值和最小值，根据条件和恒成立对最大值和最小值作差，求出m的范围，再求出m的最小值．
解答：解：（1）由题意得，
=2x（x+a）+=，
∵y=f（x）有平行于x轴的切线，
∴f′（x）==0有解，即△=4a²-4×3×≥0，
即a²≥，解得a≥或a≤-，
（2）由f′（-1）=0得，，解得a=，
∴f′（x）==，
由f′（x）=0得，=0，解得x=-1或，
由f′（x）≥0得，x≤-1或x，
由f′（x）≤0得，-1≤x≤-，
∴函数的增区间是（-∞，-1），（，+∞），
减区间是[-1，]，
则任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，
当x=-时，函数取最小值=，
∵=，=，
∴当x=-1时，函数取最大值，
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，
∴m≥-=，
故实数m的最小值是．
点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数单调性和最值，以及恒成立求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．