Question

某地区位于沙漠边缘地带，到2010年年底该地区的绿化率只有30%，计划从2011年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16%将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．设该地区的面积为1，2010年年底绿洲面积为a₁=，经过一年绿洲面积为a₂，…，经过n年绿洲面积为a_n+1，
（1）求经过n年绿洲面积a_n+1的通项公式；
（2）至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（取lg 2=0.3）

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，a_n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，另一部分是新植树绿洲化的面积，由此可得数列递推式，进而可求数列的通项；
（2）利用（1）的结论建立不等式，由此可得结论．
解答：解：（1）设2010年年底沙漠面积为b₁，经过n年治理后沙漠面积为b_n+1，则a_n+b_n=1．
依题意，a_n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，a_n-4%a_n=96%a_n，另一部分是新植树绿洲化的面积16%b_n，
于是a_n+1=96%a_n+16%b_n=96%a_n+16%（1-a_n）=80%a_n+16%=a_n+．
由于a_n+1=a_n+两边减去得：a_n+1-=（a_n-）
又a₁-=- 
所以{a_n-}是以-为首项，为公比的等比数列．
所以a_n+1=-；
（2）依题意，-＞60%，∴＜，
两边取对数得n＞====4．
故至少需要5年才能达到目标．
点评：本题考查利用数列知识解决实际问题，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．