Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，E为棱BB₁上一点．
（Ⅰ）证明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）是否存在一点E，使得B₁D∥平面AEC？若存在，求

B1E

BE

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证：AC⊥D₁E，只要证明AC⊥D₁E所在的平面BB₁D₁D即可，利用长方体的性质即可证明AC⊥平面BB₁D₁D，从而问题得证；
（Ⅱ）因为O为BD的中点，所以可取BB₁的中点E，连结OE后利用三角形中位线的性质得到OE∥DB₁，从而得到B₁D∥平面AEC，进一步得到

B1E

BE

的值．

解答：（Ⅰ）证明：连接BD

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴D₁D⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD
∴D₁D⊥AC
在长方形ABCD中，AB=BC
∴BD⊥AC
又BD∩D₁D=D
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
而D₁E?平面BB₁D₁D
∴AC⊥D₁E
（Ⅱ）存在一点E，使得B₁D∥平面AEC，此时

B1E

BE

=1．
当

B1E

BE

=1时，E为B₁B中点
设BD交AC于点O，则O为BD中点
连接OE，在三角形BB₁D中，OE∥B₁D，B₁D?平面AEC，OE?平面AEC
∴B₁D∥平面AEC．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．