Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且sinC=2sinA．
（1）求cosB的值；
（2）若△ABC的面积为，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a，b，c成的等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简已知的等式得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入计算即可求出值；
（2）由cosB的值，及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinB的值代入求出ac的值，即可求出a的值．
解答：解：（1）∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
利用正弦定理化简sinC=2sinA得：c=2a，
∴cosB===；
（2）∵cosB=，B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵S_△ABC=acsinB=ac=，
∴ac=8，又c=2a，
∴2a²=8，即a²=4，
则a=2．
点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．