题目内容

数列{an}各项均为正数，sn为其前n项的和，对于n∈N*，总有an，sn，an2成等差数列．
（1）数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项的和为Tn，数列{Tn}的前n项的和为Rn，求证：当n≥2时，Rn-1=n（Tn-1）
（3）设An为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An＜a对一切n∈N+都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】分析：第1问主要利用等差中项得出Sn与an的关系式，在利用可求出an．第2问就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和Rk=Rk-1+Tk就可证出．第3问写出An的表达式后，构造这个关于正整数n的函数，因为An是一个n项的乘积，所以采用作商的方法判断出g（n）的单调性，从而使不等式得到证明．
解答：解：（1）由已知有2Sn=an+an2．
当n=1时，2a1=a1+a12⇒a1=1，
当n≥2时，2Sn-1=an-1+an-12，∴2Sn=an+an2，
两式相减有：2an=an-an-1+an2-an-12，
即an-an-1=1．
所以an=n．
（2）由（1）得，Rn=T1+T2+T3+…+Tn．
当n=2时，Rn-1=R1=T1=1，n（T2-1）=1，
故当n=2时命题成立．
假设n=k时成立，即Rk-1=k（Tk-1），则当n=k+1时，=，
说明当n=k+1时命题也成立．
（3）据已知…，则：…，=＜1
故g（n）单调递减，于是
要使不等式对一切n∈N+都成立只需即可．
点评：本题的第1问比较简单，主要考查了这个知识点．第2问主要考查了数学归纳法证明，关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件，运算的技巧性较强．第3问是本题的难点所在，因为常规判断单调性的方法是作差，作商比较少用，但是由本题的特点所决定，这一点需要一定的思维量．
练习册系列答案
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数列{an}各项均为正数，sn为其前n项的和，对于n∈N*，总有an，sn，an2成等差数列．
（1）数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
1
an
}的前n项的和为Tn，数列{Tn}的前n项的和为Rn，求证：当n≥2时，Rn-1=n（Tn-1）
（3）设An为数列{
2an-1
2an
}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An
2an+1
＜a对一切n∈N+都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-
a
2
n
=1，．
（Ⅰ）求证数列{
S
2
n
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
2
4
S
4
n
-1
，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn＞
1
6
(m2-3m)对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．
数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求证：数列{Sn2}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
2
4
S
4
n
-1
，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求证数列{
S
2
n
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
2
4S
4
n
-1
，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn＞
1
6
（m2-3m） 对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．
（2008•南汇区二模）数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和．对于n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设数列{
1
an
}的前n项和为Tn，数列{Tn}的前n项和为Rn，求证：当n≥2，n∈N时，Rn-1=n（Tn-1）；
（3）若函数f(x)=
1
(p-1)•3qx+1
的定义域为Rn，并且
lim
n→∞
f(an)=0(n∈N*)，求证p+q＞1．

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