Question

在数列中，，，对任意成立，令，且是等比数列.
（1）求实数的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列的前三项成等比数列求出的值，然后就的值进行检验，即对数列是否为等比数列进行检验；（2）根据等比数列的通项选择累加法求数列的通项公式；（3）利用，将数列从第三项开始放缩为一个等比数列，而前面两项的值保持不变，再利用数列求和即可证明相应的数列不等式.
试题解析：（1），，，，
，，，
数列为等比数列，，即，解得或（舍），
当时，，即，
，所以满足条件；
（2），数列为等比数列，，
，，，，
，；
（3），，

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